La
palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por
ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras
ocasiones en palabras como hato, rebaño, piara, parcelas, campesinado, familia,
etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente
entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números,
personas, figuras, ideas y conceptos.
En
matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una
definición de este, sino que se trabaja con la notación de colección y
agrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que se consideren primitivas
las ideas de elemento y pertenencia.
La
característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir
que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto.
Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el
3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas
obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas
puedan incluir distintas obras en el conjunto.
Los
objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos. Por ejemplo el conjunto de las letras de
alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. que se puede escribir así:
{
a, b, c, ..., x, y, z}
Como
se muestra el conjunto se escribe entre llaves ({}) , o separados por comas
(,).
El
detallar a todos los elementos de un conjunto entre las llaves, se denomina forma tabular, extensión o enumeración
de los elementos.
Dos
conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos,
por ejemplo:
El
conjunto { a, b, c } también puede escribirse:
{ a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b },
{ c, b, a }
En
teoría de conjuntos se acostumbra no
repetir a los elementos por ejemplo:
El
conjunto { b, b, b, d, d } simplemente será { b, d }.
MEMBRESIA
Los
conjuntos se denotan por letras mayúsculas : A, B, C,... por ejemplo:
A={
a, c, b }
B={
primavera, verano, otoño, invierno }
El
símbolo Î indicará
que un elemento pertenece o es miembro de un conjunto. Por el contrario para
indicar que un elemento no pertenece al conjunto de referencia, bastará
cancelarlo con una raya inclinada / quedando el símbolo como Ï .
Ejemplo:
Sea
B={ a, e, i, o, u }, a Î B y c Ï B
SUBCONJUNTO
Sean
los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }
En
este caso decimos que B esta contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si A y B son dos
conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento
de B lo es de A también.
Por
lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B ᴄ A. Si B no es subconjunto de A se indicará con una
diagonal Ë .
Note
que Î se
utiliza solo para elementos de un conjunto y Ì solo para conjuntos.
UNIVERSO O
CONJUNTO UNIVERSAL
El
conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe
el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se
estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio
muestral).
Por
ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el
conjunto queda:
U={
1, 2, 3, 4, 5 }
Forma
alternativa para indicar conjuntos de gran importancia:
- Conjunto de números naturales (enteros mayores
que cero) representados por la letra N donde
N={ 1, 2, 3, .... }
- Conjunto de números enteros positivos y
negativos representados por la letra Z donde
Z={...,
-2, -1, 0, 1, 2, ... }
- Conjunto de números racionales (números que se
representan como el cociente de dos números enteros {fracciones }). Estos
números se representan por una Q
- Conjunto de números irracionales (números que
no puedan representarse como el cociente de dos números enteros) representados
por la letra I.
- Conjunto de los números reales que son los
números racionales e irracionales es decir todos, representados por R.
Todos
estos conjuntos tienen un número infinito de elementos, la forma de
simbolizarlos por extensión o por enumeración es de gran utilidad cuando los
conjuntos a los que se hace referencia tienen pocos elementos para poder
trabajar con ellos se emplean la notación llamada comprehensión.
Por
ejemplo, la denotar el conjunto de los números naturales menores que 60. Aquí U es
el conjunto N y se tiene una propiedad que caracteriza a los
elementos del conjunto: ser menores que 60.
Para
indicar esta situación empleamos la simbología del álgebra de conjuntos:
{
x/x Î N ; x<60 }
En
esta expresión se maneja un conjunto de x que pertenece a los
números naturales (N) y además que los valores de x son
menores que 60.
Ahora
si se desea trabajar con conjuntos que manejen intervalos estos pueden ser
representados por medio de una expresión algebraica; supongamos que se desea
expresar los números enteros (Z) entre -20 y 30 el conjunto quedaría de
la manera siguiente:
{
x/x Î Z ; -20 £ x £ 30 }
También
se puede expresar el valor de un conjunto indicando la pertenencia o no
pertenencia a uno diferente, por ejemplo
L={
1, 3, 4, 6, 9 }
P={
x/x Î N ; X Ï L }
En
el conjunto P se indica que los elementos x de un conjunto
pertenecen a los números naturales y además x no pertenece al
conjunto L.
OPERACIONES
CON CONJUNTOS
UNION
La
unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A È B y es el conjunto formado por
los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se
denota por:
A È B
= { x/x Î A ó x Î B }
Ejemplo:
Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }
A È B
={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }
INTERSECCION
Sean
A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }
Los
elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le
llama intersección de A y B; y se denota por A Ç B, algebraicamente se escribe
así:
A Ç B
= { x/x Î A y x Î B }
Y
se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B.
Ejemplo:
Sean
Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }
Q Ç P={
a, b, o, r, s, y }
CONJUNTO
VACIO
Un
conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo
que denotamos por el símbolo Æ .
Por
ejemplo:
Sean
A={ 2, 4, 6 } y B={ 1, 3, 5, 7 } encontrar A Ç B.
A Ç B=
{ }
El
resultado de A Ç B= { } muestra que no hay elementos entre las
llaves, si este es el caso se le llamará conjunto vacío ó nulo y se puede
representar como:
A Ç B=Æ
CONJUNTOS
AJENOS
Sí
la intersección de dos conjuntos es igual al conjunto vacío, entonces a estos
conjuntos les llamaremos conjuntos ajenos, es decir:
Si
A Ç B = Æ entonces A y B son ajenos.
COMPLEMENTO
El
complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos
de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se
representa por comprehensión como:
A'={
x Î U/x y x Ï A }
Ejemplo:
Sea
U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A=
{ 1, 3, 5, 7, 9 } donde A Ì U
El
complemento de A estará dado por:
A'=
{ 2, 4, 6, 8 }
DIFERENCIA
Sean
A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto de los elementos de
A que no están en B y se representa por comprehensión como:
A
- B={ x/x Î A ; X Ï B }
Ejemplo:
Sea
A= { a, b, c, d } y
B=
{ a, b, c, g, h, i }
A
- B= { d }
En
el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A
que no estén en B. Si la operación fuera B - A el resultado es
B
– A = { g, h, i }
E
indica los elementos que están en B y no en A.
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